2.

b, \(-4< \dfrac{2x^2+mx-4}{-x^2+x-1}< 6\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4< \dfrac{2x^2+mx-4}{-x^2+x-1}\left(1\right)\\\dfrac{2x^2+mx-4}{-x^2+x-1}< 6\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow4\left(x^2-x+1\right)>2x^2+mx-4\)

\(\Leftrightarrow2x^2-\left(m+4\right)x+8>0\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\Delta=m^2+8m-48< 0\Leftrightarrow-12< m< 4\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow-6\left(x^2-x+1\right)< 2x^2+mx-4\)

\(\Leftrightarrow8x^2+\left(m-6\right)x+2>0\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi \(\Delta=m^2-12m-28< 0\Leftrightarrow-2< x< 14\)

Vậy \(m\in\left(-2;4\right)\)

2.

a, Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi phương trình \(\left(m-4\right)x^2+\left(1+m\right)x+2m-1>0\) có nghiệm đúng với mọi x

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-4>0\\\Delta=m^2+2m+1-4\left(m-4\right)\left(2m-1\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>4\\\left[{}\begin{matrix}m< \dfrac{3}{7}\\m>5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m>5\)

1.

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m-4< 0\\\Delta=-7m^2+38m-15< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 4\\\left[{}\begin{matrix}m>5\\m< \dfrac{3}{7}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow m< \dfrac{3}{7}\)

Bài 2: 

a) Ta có: \(\Delta=\left(m-1\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-m^2-2\right)\)
\(=m^2-2m+1+4m^2+8\)

\(=5m^2-2m+9>0\forall m\)

Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Bài 1:

ĐKXĐ \(2x\ne y\)

Đặt \(\dfrac{1}{2x-y}=a;x+3y=b\)

HPT trở thành

\(\left\{{}\begin{matrix}a+b=\dfrac{3}{2}\\4a-5b=-2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{2}-b\\4\left(\dfrac{3}{2}-b\right)-5b=-2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{3}{2}-b\\6-9b=-2\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=\dfrac{8}{9}\\a=\dfrac{11}{18}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+3y=\dfrac{8}{9}\\2x-y=\dfrac{18}{11}\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=2x-\dfrac{18}{11}\\x+3\left(2x-\dfrac{18}{11}\right)=\dfrac{8}{9}\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{82}{99}\\y=\dfrac{2}{99}\end{matrix}\right.\)

\(f\left(1-x\right)+f\left(x\right)=\dfrac{9^{1-x}}{9^{1-x}+3}+\dfrac{9^x}{9^x+3}=\dfrac{9}{9+3.9^x}+\dfrac{9^x}{9^x+3}=\dfrac{3}{9^x+3}+\dfrac{9^x}{9^x+3}=1\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=1-f\left(1-x\right)\)

\(\Rightarrow f\left(cos^2x\right)=1-f\left(sin^2x\right)\)

Do đó:

\(f\left(3m+\dfrac{1}{4}sinx\right)+f\left(cos^2x\right)=1\)

\(\Leftrightarrow f\left(3m+\dfrac{1}{4}sinx\right)=f\left(sin^2x\right)\) (1)

Hàm \(f\left(x\right)=\dfrac{9^x}{9^x+3}\) có \(f'\left(x\right)=\dfrac{3.9^x.ln9}{\left(9^x+3\right)^2}>0\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên R

\(\Rightarrow\left(1\right)\Leftrightarrow3m+\dfrac{1}{4}sinx=sin^2x\)

Đến đây chắc dễ rồi, biện luận để pt \(sin^2x-\dfrac{1}{4}sinx=3m\) có 8 nghiệm trên khoảng đã cho

Trường hợp 1: m=10

Phương trình sẽ là -40x+6=0

hay x=3/20

=>m=10 sẽ thỏa mãn trường hợp a

Trường hợp 2: m<>10

\(\Delta=\left(-4m\right)^2-4\left(m-10\right)\left(m-4\right)\)

\(=16m^2-4\left(m^2-14m+40\right)\)

\(=16m^2-4m^2+56m-160\)

\(=12m^2+56m-160\)

\(=4\left(3m^2+14m-40\right)\)

\(=4\left(3m^2-6m+20m-40\right)\)

\(=4\left(m-2\right)\left(3m+20\right)\)

a: Để phương trình có nghiệm thì (m-2)(3m+20)>=0

=>m>=2 hoặc m<=-20/3

b: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương thì 

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)\left(3m+20\right)>0\\\dfrac{4m}{m-10}>0\\\dfrac{m-4}{m-10}>0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m-2\right)\left(3m+20\right)>0\\m\in\left(-\infty;0\right)\cup\left(10;+\infty\right)\\m\in\left(-\infty;4\right)\cup\left(10;+\infty\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m\in\left(-\infty;-\dfrac{20}{3}\right)\cup\left(10;+\infty\right)\)

c.

\(\Leftrightarrow cos\left(x+12^0\right)+cos\left(90^0-78^0+x\right)=1\)

\(\Leftrightarrow2cos\left(x+12^0\right)=1\)

\(\Leftrightarrow cos\left(x+12^0\right)=\dfrac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+12^0=60^0+k360^0\\x+12^0=-60^0+k360^0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=48^0+k360^0\\x=-72^0+k360^0\end{matrix}\right.\)

2.

Do \(-1\le sin\left(3x-27^0\right)\le1\) nên pt có nghiệm khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}2m^2+m\ge-1\\2m^2+m\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m^2+m+1\ge0\left(luôn-đúng\right)\\2m^2+m-1\le0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow-1\le m\le\dfrac{1}{2}\)

a.

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x+15^0=arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\\x+15^0=-arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-15^0+arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\\x=-15^0-arccos\left(\dfrac{2}{5}\right)+k360^0\end{matrix}\right.\)

b.

\(2x-10^0=arccot\left(4\right)+k180^0\)

\(\Rightarrow x=5^0+\dfrac{1}{2}arccot\left(4\right)+k90^0\)

2.

Phương trình \(sin\left(3x-27^o\right)=2m^2+m\) có nghiệm khi:

\(2m^2+m\in\left[-1;1\right]\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m^2+m\le1\\2m^2+m\ge-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left(m+1\right)\left(2m-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow-1\le m\le\dfrac{1}{2}\)

ĐKXĐ: m<>-1

Ta có: \(\Delta=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\left(m+1\right)\left(m-2\right)\)

\(=\left(2m-2\right)^2-4\left(m^2-m-2\right)\)

\(=4m^2-8m+4-4m^2+4m-8\)

\(=-4m-4\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì -4m-4>0

hay m<-1

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1\cdot x_2=\dfrac{m-2}{m+1}\\x_1+x_2=\dfrac{2\left(m-1\right)}{m+1}\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=4x_1x_2\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{2m-2}{m+1}\right)^2-6\cdot\dfrac{m-2}{m+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-2\right)^2-6\left(m^2-m-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-6m^2+6m+12=0\)

\(\Leftrightarrow-2m^2-2m+16=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-m-8=0\)

Đến đây bạn tự giải nhé

PT có 2 nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta=4\left(m-1\right)^2-4\left(m-2\right)\left(m+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-4m^2+4m+8\ge0\\ \Leftrightarrow12-4m\ge0\\ \Leftrightarrow m\le3\)

Áp dụng Viét: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2\left(m-1\right)}{m+1}\\x_1x_2=\dfrac{m-2}{m+1}\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{x_2}{x_1}+\dfrac{x_1}{x_2}=-4\\ \Leftrightarrow\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=-4\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=-4x_1x_2\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2=-2x_1x_2\\ \Leftrightarrow\dfrac{4\left(m-1\right)^2}{\left(m+1\right)^2}=\dfrac{4-2m}{m+1}\\ \Leftrightarrow4\left(m-1\right)^2=\left(4-2m\right)^2\\ \Leftrightarrow4m^2-8m+4=16-16m+4m^2\\ \Leftrightarrow8m=12\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}\left(tm\right)\)